资料：数学史上的三次危机
{:4_195:}本帖最后由 东方黑 于 2019-2-27 21:08 编辑
第一次数学危机与芝诺悖论
无理数的发现，引起了第一次数学危机。诱发的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。
1 基本简介
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。
“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
2 历史介绍
诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？
在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。
3 说明介绍
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。
回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。
但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。
第二次数学危机与贝克莱悖论
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
1 理论提出
十七世纪后期，艾萨克·牛顿（Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。
1734年，大主教乔治•贝克莱(George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说x的导数，先将x取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx) − x ，得到2xΔx + (Δx) ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。
2 简介
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
对于无穷小量所带来的数学本身非逻辑非严谨性的问题,那些曾具体从事微积分研究的数学家们早就有过这样或那样的思考,在他们之间并展开过激烈的讨论和争论。从数学的角度看,如何较好地理解这一问题或许可以被看成一个纯技术性的问题;但是,从文化的角度看,我们又只有从更为广泛的角度去进行考察,特别是密切联系当时在欧洲人生活中占重要地位的基督教文化,才能更好地理解围绕无穷小运算所展开的激烈争论及其内涵。
3 人物简介
英国主观唯心主义哲学家、主教。1685年3月12日出生于爱尔兰基尔肯尼郡，1753年1月14日卒于牛津。少年早熟，15岁考进都柏林三一学院，1704年获学士学位，1707年获硕士学位,留校担任讲师、初级研究员。1709年刊行《视觉新论》,1710年发表《人类知识原理》,1713年出版《海拉斯和斐洛诺斯的对话三篇》，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。1734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教,任职18年,仍致力于哲学的思辨。1752年移居牛津附近的新学院。贝克莱对于心理学的贡献,主要是他的《视觉新论》，断定经验来自视觉、肤觉的客体、方位、大小和形状。这本书主要企图证明人们的视觉经由什么途径来知觉客体的距离、体积和位置；并探讨视觉的观念和肤觉的观念有什么差异，是否有共同的观念。他认为由空间知觉来判断距离的远近和物体的大小，全凭人们的知觉经验。物体投射到眼睛网膜的视象受方位、空气透视和相对大小的影响，这已是人所共知的常识。还提出眼的辐合作用，眼的投射域和眼的调节作用（紧张度）。这些都符合现代眼科生理的事实。
4 贝克莱哲学的基本观点
表现在以下几个方面：
第一，物质就是“虚无”。贝克莱深知物质概念是一切唯物主义和无神论者的基石，因此，他千方百计地攻击唯物主义的物质不说，否认物质的客观实在性，以图达到他取消物质的目的，宣称物质就是“虚无”。他说：关于“物质”或“有形实体”的学说，是“怀疑主义”的主要支柱，同样，一切“无神论”和“不信宗教的渎神的企图，也是建立在这个基础之上的。……物质的实体从来就是“无神论者”的挚友，这一点是无需多说的。他们的一切古怪系统，都明显地，必然地依靠它；所以一旦把这块基础去掉，整个建筑就不能不垮台”。他认为，物质是一个虚构的词，不表示任何实在的东西，在人的心中也没与之相应的观念。由此得出结论，物质就是“虚无”，他讥笑唯物主义者说：“假如你愿意的话，你可以把物质一词用成和别人所用的无物一词的意义一样”。贝克莱就是这样攻击唯物主义的，但是，物质是不依赖于人的感觉的客观存在，是人类长期实践所证实的，决不是贝克莱可以取消得了的。
第二,“存在就是被感知”。贝克莱认为，人们认识的对象就是观念，观念并不反映观念之外的任何事物，而且观念之外就没有任何事物，人们平常所说的事物，不过是观念的各种不同的结合而已。例如，我们看到一个圆的形状、红的颜色，嗅到香的气味，把这些感觉集合起来，人们就用苹果这个名称来表示它，并把它当做一个单独事物来看待。由此得出结论，事物就是“观念的集合”。然而，观念本身并不能独立存在，要有一个能感知它们的主体，这个主体就是“一个能感知的主动存在，要有一个能感知它们的主体，这个主体就是”一个能感知的主动实体，就是我所谓的心灵、精神、灵魂或自我。……观念只存在于这个东西之中，或者就被这个东西所感知。主观唯心主义在我国也同样存在，明代的王阳明（1472——1528），集宋明时期主观唯心主义之大成，有四个字就可以概括他的全部哲学叫做“心外无物”。就是说，万事万物，包括月亮、太阳……都存在于他的心中。这种主观唯心主义显然是站不住脚的，它不可避免地要陷入唯我论的可悲结局，既然，世界只存在于他的感觉中，那么世界上也就只有他一人是存在的了，这是何等荒谬呢！如果我们质问主观唯心主义者，既然你认为世界上的一切都是你的感觉，那么当你还没出世之前也就是还没有你的感觉的时候，生你的父母是不是客观存在的呢？对于这样的问题他们是无法回答的。
注：以上反驳是无力的。要了解贝克莱的思想，绝不可把物质与存在（或非物质与不存在）混为一谈。贝克莱的理论是“非物质论”（Immaterialism），认为世界上存在的只有能进行思考的心灵（Mind）和不能进行思考、只存在于心灵之中的观念（Proception）。物质（Material）是不存在的，因为它被证明是一种没有性质的物理客体（参看贝克莱的早期著作）。我们能够感知到主观存在的观念，经验到作为客观实体的心灵。贝克莱的思想绝不等同于王阳明的思想，王阳明有很大的唯我论倾向，但贝克莱是反对唯我论的。贝克莱认为：我们所感知的只是观念，我感知不到的观念，对于我的心灵来说就是不存在的，但对于别的感知到它的心灵来说，这个观念就是存在的，因为所谓的“心灵”并不是仅仅指我的心灵，而是指所有的心灵，包括永恒不朽的心灵——God，God给予所有观念以感知，于是它们即使不为人所感知，也是存在的，别忘了贝克莱可是个有神论者。
对于生身父母的问题，我们可以做如此解释：我们在没有出世之前自然经验不到父母的心灵，父母的心灵实体对于我们的心灵来说就是不存在的，但这并不意味着对于其他心灵（比如祖父祖母、父母的朋友们等等）来说我们的父母也是不存在的，他们可以经验到我们的父母的心灵实体，因此对于这些心灵，我们的父母客观存在。哪怕我们的父母就是Adam和Eve，还会有God这个永恒心灵来经验他们的心灵。贝克莱不反对心灵的客观存在，但他强烈反对物质的客观存在。事实上，刚才所反驳的仅仅是贝克莱本人也不赞同的唯我论，而不是贝克莱的真正思想
在我们还是婴儿的时候，我们的心灵具有了一定的感知能力。我们可以慢慢知道，哪些观念的集合用“桌子”这一词汇称呼，那些观念的集合用“椅子”这一词汇称呼，哪些似乎是观念的集合的事物被称为“父”、“母”或者“小朋友”。渐渐地，对我们心灵中经验的能力趋于成熟时，我们会发现，“父”、“母”以及“小朋友”这些词汇所指称的事物与观念有很大区别，通过进行经验，我们会发现，和桌子与苹果相比，他们是能动的，至少与本人十分相似。于是我们便可以做出判断：“父”、“母”、“小朋友”不是观念，而是一种与观念截然不同的事物——心灵。
5 贝克莱悖论与第二次数学危机
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
第三次数学危机与罗素悖论
1 罗素悖论简介
1900年前后，在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外罗素悖论还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了第三次数学危机。
2 什么是悖论
解释
让我们先了解下什么是悖论。悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。今天九天地聿从人类的精神意识解析中再次的解析了悖论的生成和法则。
主要形式
悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
3 罗素悖论例子
《唐·吉诃德》
世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：罗素悖论唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处相关书籍绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。
理发师悖论
由著名数学家伯特兰·罗素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似：
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
等价
理发师悖论与罗素悖论是等价的：
因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
芝诺悖论：
芝诺是第一个提出悖论的人，如：二分法，飞矢不动，以及名题“阿基里斯和乌龟”。芝诺悖论的基础是“芝诺时”
，在正常时间可以运算的基础上，"芝诺时"会到达无限。
4 影响
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是，好景相关书籍不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的《算数的基本法则》完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：
1、理查德悖论
2、培里悖论
3．格瑞林和纳尔逊悖论。
5 问题的解决
罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论在本质上存在两种选择，the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neum相关书籍ann-Bernays alternative。 1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过Abraham Fraenkel的改进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。在该公理系统中，由于限制公理（The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms）：P(x）是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x）；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的。因此罗素悖论在该系统中被避免了。
除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼（von Neumann)等人提出的NBG系统等。在the von Neumann-Bernays alternative中，所有包含集合的collection都能被称为类（class），因此某些集合也能被称为class，但是某些collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此仅仅是个class。这同样也避免了罗素悖论。
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
巨大作用
以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模相关书籍范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。
逻辑主义
理性不能回答关于其自身的问题，这个问题在康德时期就发现了。逻辑存在无法弥补的漏洞，却是人了解世界的唯一途径。到头来你会发现，不是否定理性就是否定信仰。因为所谓唯心唯物之争都是建立在这样不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。既然理性无法对其自身做出判断，那么选择立场就不能以理性为依据，从而变成一种实质上的迷信。当然如果你坚持要说自己的立场是合乎所谓的科学或实践的，那么其实你既不属于唯物也不属于唯心，本质上只是一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。当然，这里的逻辑主义当然不是罗素的那个，只是一个形象点的称呼而已。
不同
思考这个问题的动机原是这样：是否所有能导致两难推理的悖论（包括一些所谓的语义学悖论）都有相同结构？如果不是，能不能把它们按照逻辑结构来分类？从而能够更加清晰地看清每一类悖论产生的根源。比如罗素悖论，用符号表示出来，就可看出，它用了这样一个定义模式：x是S的，如果x不是x的。（稍微严格一点写成这样：xRS，如果 非xRx.R为一个二元谓词。）而在定义S时，S本身又可以用它自己的定义来判定，即可以把定义中的x换成S，导致这样一个语句：S是S的，如果S不是S的。注意在定义中的两个语句互为充要条件，所以原来的定义中就蕴含了一个“P等价于非P”的结论，从而导致两难推理。这种定义模式本身是逻辑中的漏洞，康托的朴素集合论正因为没有防范的机制而陷入了这个逻辑漏洞，才导致了集合论形式的罗素悖论。
罗素悖论已被消除，包含自己的集合是不可能存在的！
解决悖论的意义
虽然不能说逻辑类型论已经完全解决了上述悖论，但却可以说它极大地促进了逻辑的发展。因为在一定意义上，它正确地反映了客观外界的无限多样性。这种多样性可以以一种多层性的形式反映在人们思维中。作为人类思维的外在表现形式的语言势必在某种程度上间接反映着这种客观的多样性或多层性。当人们的语言层次或思维层次与客观外界的层次不协调时，就可能出现悖论，而通过对语言和思维的层次分析，可以帮助我们了解事物的各种规定性。当然，我们应当指出：客观世界的所谓“多层性”绝不像罗素的逻辑层次那样壁垒分明，而是呈现出极复杂的状态，而且，命题的层次说只是从思维的形式和结构方相关书籍面来讲的，它仍是一种有待进一步检验的假说。
那么，人们试图解决悖论的种种努力究竟有什么意义呢？简单概括起来大概有以下三个方面：⑴从数学上看，悖论迫使人们从逻辑和哲学的角度对数学基础问题重新进行了全面而深入的研究，这种努力正是企图给数学以相对更加牢靠的基础；⑵从逻辑上看，单以二值逻辑来说，它的值必须或真或假，即不能即真又假，然而，逻辑悖论却破坏了矛盾律和排中律，使命题的值即真又假，无法确定，解决悖论的努力可以说是在企图维护形式逻辑的基本律；⑶从哲学上看，人们在解决悖论的努力使自己的认识不断深化，从而对相对静止的思维形式和结构，以及它们之间错综复杂的层次和关系做了更进一步的剖析。此外，上述努力对于反对诡辩论和相对主义也有一定的意义。
罗素悖论一句话
A是非A.
A集合是由非A集合中的元素构成.
实际上
假设有另外两个集合B与非B.
如果A是B,
那么A是非A，也就是非B,
A就是非B,
A又是非非B,
因此，就会无限死循环下去，
相当于
1-1+1-1.......
到底是零，还是1.
因此罗素悖论是集合的规则导致，该集合必须无限循环下去的.
实际上，数学的三次危机
第一次无理数，
无限不循环小数.
第二次，无穷小
无穷小是零还是非零
第三次，无穷大，A是非A，导致无限循环.
因此，数学的三次危机本质上都是
实无限，还是虚无限.
无限之后到底是定值，还是不确定的.
好深奥。数学是决定世界秩序的最有用的学科，尤其当今大数据的环境下。学习了{:4_187:} 语文好的人数学自然好，我知道这个{:5_114:} http://blog.sina.com.cn/s/blog_dfe6dc450102wc59.html
论第一次数学危机产生的原因和影响转载2016-05-04 12:24:13
目录
第一次数学危机的简介2第一次数学危机产生的原因3第一次数学危机的解决4第一次数学危机的产物：古典逻辑与欧氏几何学5第一次数学危机的影响6参考文献7
摘要：毕达哥拉斯关于数的信条及以数为基础的宇宙模型的破产，导致了第一次数学危机。这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展，使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展。本文就第一次数学危机的产生、解决到影响作了简单的介绍。关键词：第一次数学危机 无理数 毕达哥拉斯
我们了解的数学危机有三大，如果说每次危机都把数学家们推入黑暗，但是随着危机的解决带来是更好的光明，三大数学危机带来的也是三大数学成就。从哲学的观点来看矛盾就是无处不在的，数学这么严密的学科也不例外。纵观数学的发展，就是不断的产生冲突和危机并把它们解决的过程。知识是人们总结出来的，人的认识是有限的，所以知识本身是应该随着社会的发展不断地突破的。一次大的数学危机，对人们的影响是非常大的，当你一直认为理所当然的事却被指出是错的的时候，人们是很难接受的，所以危机的解除也是相当困难的事情。我们并未经历这么大的数学危机，不能体会自己的观念完全被推翻的感受。基于对此我爱好或者说好奇，我选择了这个主题。第一次数学危机的简介： 从某种意义上来讲，现代意义下的数学来源于古希腊的毕达哥加斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个违心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥加斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。 不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是西帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。 同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。 回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。 但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。第一次数学危机产生的原因：毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了毕达哥拉斯定理即我们所说的勾股定理。就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题，即： (1) 和分别代表直角三角形的两条直角边， 表示斜边。这个学派还认为满足（1）式的数有无穷多个，并提供了下述三元数组，即若是奇数，并且,则有:,, (2)这三元数组只是使（1）式成立的充分条件，而不是必要条件。当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式（1）和等式（2）的研究时，米太旁登的希帕苏斯，发现了在等腰直角三角形中，（1）式中出现了下述结果： (3)如果直角三角形的两条直角边都等于1 时，其斜边的长就恰好等于。而 找不到可以公度的几何实体，这在当时的认识水平下，无疑是一个矛盾。此外，是否是个数？对于毕达哥拉斯学派来说，这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它是数，就要与“数即万物”中所说的整数发生不可调和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海上，就因这一发现把希帕苏斯投到海里，因为他在宇宙中搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯学派的信条———宇宙中的一切现象都归结为正整数或正整数之比。等式(3）所引出的对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。“ 数即万物”的世界观被彻底地动摇了。由此引发了数学的第一次危机!。第一次数学危机的解决：数学的第一次危机的解决大约在公元前"#$年，才华横溢的希腊数学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关，其实这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明方法，证明过程如下：假设：是有理数，设(p,q均为自然数，且（p,q）=1)所以，两边平方得： （1）所以必为2的倍数，故q必为2的倍数。因为 （p,q）=1，得p为奇数。记，把两式代入（1）得：整理得：，显然左边为奇数右边为偶数，引出矛盾，故为无理数。还有很多方法可以证明为无理数。是无理数的种种证明，使我们对无理数有了进一步的认识，对数学中的美、对各种丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。数学的第一次危机的实质主要在于数学家的思维囿于错误的哲学思想，即主要在于数学家的思维被错误哲学思想支配了。本来就是一个数，但它的发现结果反而导致了数学的危机，并成了“ 数即万物”，而“数”又只能是整数或整数的比这种错误哲学观点的牺牲品。第一次数学危机的产物：古典逻辑与欧氏几何学 亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。 亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。 亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响。 亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷(大)和实在的无穷(大)加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。 欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺沙的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。 欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。 《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的。另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。第一次数学危机的影响：第一次数学危机的影响是巨大的。首先，它推动了数学及其相关学科的发展。例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的。除此而外，数理天文学的发展也有赖于第一次数学危机。由于宇宙是几何的，宇宙的规律是几何规律，因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论。其次，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化。我们知道，在第一次数学危机之前，古希腊的数学是以数为基础的。第一次数学危机之后，古希腊的数学基础则转向几何。以几何为基础，使数学的公理化成为可能。而以数为基础，在古代是不可能建立数学的公理系统的。这只要对照一下事实就清楚了。在古代，有不少国家的数学是以数为基础的，在这些国家从未建立起数学的公理系统。即使在西方，数的公理系统的建立也是很晚的事情。最后，数学公理系统的建立，还对整个科学的发展起了巨大的推动作用。我们知道，近代科学诞生于西方，其原因是多方面的。譬如，生产的发展、实验之风的流行、文艺复兴运动或宗教改革运动带来的思想解放，等等。但我们若追根溯源就会发现，近代科学的源头是古希腊文明。古希腊文明包括很多因素，但与近代科学最直接相关的是它的科学精神和科学方法。古希腊的数学公理系统，是它的科学精神和科学方法的集中体现。近代西方学者正是通过学习古希腊的数学公理系统，才领悟并把握古希腊的科学精神和科学方法的。借助这种科学精神和科学方法，他们创立了近代科学。不仅如此，古希腊的数学公理系统还是近代科学的模型或种子。有了这粒种子，近代科学才得以诞生。就这样，由于古希腊数学的哲学背景，使其有可能建立世界上第一个数学公理系统。而这个系统是近代科学的种子。这粒种子在近代西方适宜的土壤条件下发芽、生长，最后成为一棵科学的参天大树。从这个意义上来看，我们可以说第一次数学危机对近代科学乃至整个科学的发展起了巨大的促进作用。概而言之，第一次数学危机，不仅仅是数学领域的一个事件，也不仅仅是古希腊科学中的一个事件，而是整个科学发展进程中的一个重要事件，也是整个人类文明演变历史中的一个重要事件。参考文献1、（美）H.伊夫斯，《数学史上的里程碑》，欧阳绛等译，上海科学技术出版社，19902、毛建儒 ，《第一次数学分析及其哲学分析》，2005年2月3、（美）H.伊夫斯，《数学史概论》，欧阳绛等译，山西人民出版社，19864、林夏水，《数学哲学》，北京：商务印书馆 ，2003 作者： 赵文君
史海钩沉：“第一次数学危机”是如何引发的
“第一次数学危机”是如何引发的
――谈希帕索斯悖论与芝诺悖论
沈跃春
================
大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。这个不可通约量的发现和芝诺悖论一起引发了“第一次数学危机”。
希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。因为他竟然在宇宙间搞出了这样一个东西来否定毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
毕达哥拉斯学派是古希腊最古老的哲学学派之一。据说这个学派有两条最能概括他们思想特色的格言：“什么最智慧？只有数目”，“什么最美好？只有和谐”。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。
直角三角形的直角边与其斜边不可通约，这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。所以，通常人们就把希帕索斯发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。
这一悖论的发现，震惊了当时的西方数学界，也引起了古希腊人数学观念的更新。这场“危机”表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。从此以后，希腊人开始由重视计算转向重视推理，由重视算术转向重视几何学，并由此建立了几何公理体系。其实，这是数学思想上的一次巨大革命！
自无理数发现以后，埃利亚派的芝诺又“把离散与连续的问题惹人注意地提了出来”。按照西方学术界一般的说法，除了希帕索斯悖论外，芝诺悖论也是导致“第一次数学危机”的主要因素。
据说，芝诺和他的老师巴门尼德一样，原来也是毕达哥拉斯派的学者。芝诺提出关于运动的“四个悖论”，与其说是为了他老师的观点进行辩护，不如说是为了攻击毕达哥拉斯的数学理论的基础。这四个悖论可以概述如下：
第一个是二分法悖论；第二个是阿基里斯追不上乌龟的悖论；第三个是“飞矢不动”的悖论；第四个是“运动场悖论”。
芝诺关于运动的“四个悖论”所得出的结论明显地与人们的直觉相矛盾，但在当时却被认为是难以驳倒的。其实，它们之间看起来似乎是各不相关的，但它们总的思想却极其深刻地揭露了运动的矛盾本质。面对芝诺悖论，当时的科学理论包括数学理论似乎都陷入了不可解决的矛盾困境。
当时，人们对时间和空间有两种对立的看法：一是空间和时间是无限可分的；二是空间和时间是由不可分的小段组成的(像放电影那样)。按照第一种看法，运动是连续的；按照第二种看法，运动将是一连串的小跳动。芝诺悖论正是针对上述两种看法提出来的。从思想史上看，芝诺悖论虽然提出了如何理解有限与无限、间接与连续、时间与空间、运动与静止等问题，但并未解决这些问题。当然，芝诺视运动为矛盾而加以否定时，客观上却正好揭示了运动的矛盾本质。亚里士多德在经验范围内曾逐一反驳了芝诺的四个论证，认为它们完全是错误的。但是，他并没有从概念上揭示运动的矛盾本质。相反，芝诺通过概念的论证，发现了运动的矛盾本质，这样他的思想反而显得更深刻一些。因此，黑格尔称赞他为概念辩证法的创始人。
悖论的发现是否意味着数学理论的垮台呢？回答是否定的。我们认为，无矛盾性对于一个理论系统来说是很重要的，但无矛盾性并不是某一理论系统具有真理性的充分条件。诚如法国哲学家帕斯卡尔所说，“矛盾不是假的标志，不矛盾也不是真的标志”。应当指出的是，历史上发现的希帕索斯悖论和芝诺悖论，都是从毕达哥拉斯学派的理论系统中引出来的，它们所揭示的矛盾是极其深刻的。实际上，希帕索斯悖论和芝诺悖论既直接引发了“第一次数学危机”，同时也刺激了数学和逻辑学的发展。第一次数学危机后出版了两本经典著作：一是关于数学的第一本经典著作———欧几里德的《几何原本》；二是关于逻辑学问题的第一本经典著作———亚里士多德的《工具论》。这两本经典著作标志着公理几何学和逻辑学的诞生，成为数学发展史上具有重大意义的事件。
页:
[1]